Maravillas numéricas

En el mundo de los números, como también sucede en el mundo de los seres vivos, se encuentran auténticas maravillas, ejemplares únicos, que poseen propiedades sorprendentes. A partir de varios números extraordinarios se pudo conformar un museo de rarezas numéricas. En sus vitrinas hallaremos un lugar no solamente dedicado a los gigantes numéricos, sino también otro para los números de dimensiones discretas que, en compensación, se distinguen de la serie de los otros por ciertas propiedades no habituales. Algunos de ellos llaman la atención por su apariencia, otros en tanto, dejan ver sus notables particularidades solamente a través de un conocimiento más profundo. Los llevaré de recorrido por algunos de ellos:

El número 12: ¿Que tan especial es? Es el número de los meses del año y de la docena. Pero en esencial ¿Que hay de particular en la docena? Por poco es conocido que el número 12 es el antiguo y derrotado rival del número 10 en la lucha del puesto honorífico de base del sistema de numeración. Un pueblo de gran cultura del Medio Oriente, los babilonios, y sus predecesores sumerios, realizaban los cálculos en el sistema duodecimal de numeración. Tenemos gran inclinación por las docenas y las gruesas, nuestro día se divide en 2 docenas de horas, nuestras horas se dividen en 5 docenas de minutos, nuestro minuto se divide en 5 docenas de segundos, el círculo se divide en 30 docenas de grados, y finalmente el pie se divide en 12 pulgadas, lo que constituye una prueba fehaciente de la gran influencia de dicho número en nuestra vida. 

Debido a la estrecha relación entre la decena y los diez dedos, nuestras manos han sido y siguen siendo calculadoras naturales. Pero si no fuera por eso convendría dar preferencia al 12 antes que al 10. Es mucho más conveniente realizar los cálculos en el sistema duodecimal que en el decimal. Esto se debe a que el número 10 solo es divisible por 2 y por 5, mientras que el 12 es divisible entre 2, 3, 4 y 6. Salta a la vista las ventajas del sistema duodecimal si se considera que en este sistema todo número terminado en cero es múltiplo de 2, 3, 9 y 6. ¡Que cómodo resulta dividir un número cuando 1/2, 1/3, 1/4 y 7/6  de este son números enteros!

Todo número duodecimal que termine en dos ceros es divisible por 144, así como por todos sus multiplicadores, es decir entre 2,3,4,6,9,12,16,18,24,36,48,72 y 144, catorce divisores en lugar de ocho con los que cuentan los números decimales que terminan en dos ceros: 2,4,5,10,20,25,50 y 100.

Por otra parte sería un gran error pensar que la divisibilidad de un número puede depender del sistema de numeración en que esté representado. Si unas nueces contenidas en un saco pueden separarse en 5 montones iguales esta propiedad no se modifica dependiendo del sistema de numeración en el que se expresen o de si lo anotamos en un ábaco, o lo escribimos en letras, o por cualquier otro método. Si el número escrito en el sistema duodecimal es divisible entre 6 o entre 72, al ser expresado en otro sistema de numeración (el decimal en este caso) deberá tener los mismos divisores. La diferencia consiste únicamente en que, en el sistema duodecimal la divisibilidad entre 6 o entre 72 se verifica con mayor facilidad. 

El número 365 Es notable, ante todo, porque denomina los números de días del año. Además, al dividirlo por 7 da 1 de residuo, por ser un residuo tan insignificante, esta propiedad adquiere una gran importancia para nuestro calendario de siete días. Otra propiedad de este número, no relacionado con el calendario es: 365 = 10 x10+11x11+12x12, es decir, que el número 365 es igual a la suma de los cuadrados de tres números consecutivos empezando por el 10: 102+112+122=100+121+144=365. Además es igual a la suma de los cuadrados de los dos siguientes números, 13 y 14: 132+142=169+196= 365.

El número 999 En la siguiente vitrina está expuesto el mayor de todos los números de tres cifras, el 999. Dicho número es mucho más extraordinario que su imagen volcada el 666, el famoso número de la bestia que ha generado un temor absurdo entre algunas personas supersticiosas que, acorde a las propiedades aritméticas, nada hay que lo distinga de los demás números. 

Una propiedad interesante del 999 se manifiesta en su multiplicación por cualquier otro número de tres cifras. De esta forma se obtiene un producto de seis cifras: sus tres primeras cifras constituyen el número a multiplicar por 999, reducido en una unidad, y las tres cifras restantes, inclusive la última son el complemento al 9 de las tres primeras. Veamos, por ejemplo el 573. Se reduce 573 en una unidad, quedando el 572. Se complementa cada cifra a 9:9 - 5= 4;9 - 7=2; 9-2 =7, quedan 427. A continuación se realiza la operación siguiente: 573x999=572427.

Conociendo esta particularidad podemos multiplicar instantáneamente cualquier número de tres cifras por 999, por ejemplo, 967x999=966033 o bien  981x999=980019. Haciendo uso de estas propiedades se puede organizar ante los profanos, pequeñas demostraciones de multiplicación y división instantánea. 

El número 1001, o número de Scheherazada El que sigue es el 1001, el célebre número de Scheherazada. Pocos sospechan probablemente que en el nombre mismo de una colección de cuentos encantados árabes se esconde una maravilla que hubiese podido exaltar la imaginación del sultán del cuento en grado no menor al de otras maravillas del Oriente si se hubiese interesado por las maravillas aritméticas.

¿Que tan notable es el número 1001? En su aspecto parece un número corriente. No pertenece al grupo de los números primos. Es divisible entre 7,11 y 13, los cuales son números primos consecutivos, cuyo producto resulta ser el mencionado número. Lo que lo hace notable es que al multiplicar un número de tres cifras por 1001 se obtiene un resultado formado por los dígintos del número multiplicado escrito dos veces, por ejemplo: 873x1001=873873 y 207x1001=207207.

Un número de seis unidades (111111) En la siguiente vitrina vemos una nueva maravilla del museo de curiosidades aritméticas, un número formado por seis unidades. Por las propiedades ya conocidas del número 1001, nos damos cuenta que 111111=111x1001

Pero 111= 3x37 y 1001= 7x11x13. De aquí se deduce que nuestro nuevo fenómeno numérico formado solamente por unidades, representa el producto de cinco multiplicadores primos. Combinando estos cinco multiplicadores en todas las formas posibles en dos grupos, obtenemos 15 pares de multiplicadores cuyos productos dan el mismo número, 111111.

3x (7x11x13x37)=3x37037= 111111
7x (3x11x13x37)= 7x15873= 111111
11x (3x7x13x37)=11x10101= 111111
13x (3x7x11x37)= 13x8547=111111
37x (3x7x11x13)=37x3003= 111111
(3x7)x(11x13x37)=21x5291= 111111
(3x11)x (7x13x37)=33x3367=111111

En este caso se puede poner a 15 personas el trabajo de multiplicación, y aunque cada uno multiplica un par de números diferentes, todos obtendrán el mismo resultado, o sea, 111111.

Partiendo de lo visto para el número 111111, el lector puede emplear en los trucos aritméticos, otro número que se componga de puras unidades, para ello debe descomponer dicho número en factores. Para fortuna de los aficionados, no todos los números resultantes son primos, ya que algunos son compuestos. De los primeros 17 números de este tipo solo son primos el 1 y el 11, todos los demás son compuestos. Finalmente, veamos como se descomponen en factores primos los diez primeros números de este sistema:

111 = 3 x 37
1.111 = 11 x 101
11.111 = 41 x 271
111.111 = 3 x 7 x 11 x 13 x 37
1.111.111 = 239 x 4649
11.111.111 = 11 x 73 x 101 x 137
111.111.111 = 9 x37 x 333667
1.111.111.111 = 11 x 41 x271 x 9091
111.11.111.111 = 21649 x 513239
111.111.111.111= 3 x7 x11 x 13 x 37 x 101 x 9901