Geometría: Tres problemas griegos

 Vale la pena hablar de los tres problemas que más preocuparon a los griegos desde que aquella ciencia empezó a construirse racionalmente. Nos referimos a la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo, que los griegos no supieron resolver..., ni nosotros tampoco. La única ventaja que tenemos sobre ellos es la de saber por que son irresolubles. 

Como dichos problemas han trastornado a tantas cabezas de aficionados a la Matemática, y todavía existe una pintoresca fauna de locos inofensivos que creen haberlo resuelto, conviene precisar lo que quiere decir resolver un problema que es, precisamente lo que no saben los pobres ilusos que se caracterizan tanto por su ignorancia de la Matemática actual y de la historia de esta ciencia, como por la testaruda resistencia pasiva que oponen a todo intento para convencerles de su error. 

En primer lugar, decir que un problema es irresoluble no tiene sentido si no se indica con que medios o instrumentos, porque pudiera ocurrir que un problema que no tiene solución con ciertos recursos la tenga con otros, y en segundo lugar hay que distinguir entre la posibilidad y la resolublilidad de un problema: un problema es posible cuando admite una solución, aunque ésta no se pueda obtener por medio de construcciones elementales, de modo que la no- solubilidad es un concepto relativo porque, en sentido absoluto, todo problema posible es resoluble. 

La resolución de un problema consiste, esencialmente, en reducirlo a otro ya resuelto y, por tanto, se debe llegar a uno, considerado como fundamental, cuya solución se supone dada por uno o varios de los postulados que se refieren al uso legítimo de los instrumentos necesarios para ciertas construcciones geométricas que, para los griegos, eran la regla y el compás, únicos aparatos de su actividad matemática hasta el punto que no concedían carta de naturaleza científica a las figuras cuya construcción exige instrumentos distintos de aquellos. 

Con la regla se puede construir la recta que pasa por dos puntos, el punto común a dos rectas no paralelas y, en general, los problemas de primer grado, es decir, los que, expresados en lenguaje analítico, solo contienen la primera potencia de la incógnita, y si en el problema entran nociones métricas como las del paralelismo, longitudes de segmentos, valores angulares, etc, es irresoluble con la regla, con el compás es posible describir una circunferencia de centro y radios dados, o de centro dado que pase por un punto dado y determinar los puntos comunes a dos circunferencias secantes. Con la regla y el compás son resolubles muchísimos problemas, siempre que su expresión algebraica contengo solo raíces cuadradas. 

El problema de la duplicación del cubo tiene un origen fabuloso y constituye el tema de una carta de Eratóstenes al rey Ptolomeo: Cuéntase que uno de los antiguos poetas trágicos hacía aparecer en escena a Minos en el momento en el que se construía la tumba de Glauco y, al observar que solo medía cien pies de cada lado dijo: "Es un espacio muy pequeño para el sepulcro de un rey, duplicadla conservando su forma cúbica, duplicando cada lado". Es evidente que se equivocaba pues duplicando los lados de una figura plana se cuadruplica, mientras que una sólida se octuplica, y entonces se propuso a los geómetras la cuestión de duplicar una figura sólida dada conservando su forma, lo que se llamó la duplicación del cubo. Después de un largo período de incertidumbre, Hipócritas de Quío encontró que si entre dos rectas, una de las cuales es doble de la otra, se insertan dos medias  en proporción continua, el cubo quedará doblado, con lo que no hizo más que transformar la dificultad en otra no menor. Se cuenta también que más tarde, los de Delos, obligados por el oráculo de duplicar el altar, tropezaron con la misma dificultad, y entoncesenviaron embajadores a los geómetras que, con Platón, frecuentaban la Academia para que resolvieran la cuestión. Se ocuparon de ella diligentemente y se dice que, al proponerse insertar dos medias entre dos rectas, lo consiguieron Aquiles de Tarento con el semicírculo y Eudoxio mediante ciertas curvas. A estos siguieron otros que se esforzaron por hacer más perfectas las demostraciones, pero no pudieron efectuar la construcción y acomodarla a la práctica, excepto acaso Memeco, y con gran trabajo. 

Es probable que el problema de duplicar el cubo, también llamado problema de Delos, no fuese inspirado por la megalomanía de Minos ni por el oráculo de la sibila, sino por los mismos geómetras, puesto que sabiendo desde los tiempos de Pitágoras que el cuadrado construido sobre la diagonal de otro tiene doble área que éste, es decir: sabiendo duplicar el cuadrado mediante la construcción gráfica de la raíz cuadrada de 2 y guiados por su espíritu de generalización, parece natural que quisieran transportar al espacio el mismo problema, lo que los llevó al de extraer la raíz cúbica de 2, y ante la imposibilidad de construir con la regla y el compás la arista de un cubo de doble volumen que el otro, redujeron el problema a otro, siendo Hipócrates de Quío el primero en intentarlo. 

Es posible que tal procedimiento que parece inseparable de la investigación Matemática hubiese sido empleada antes de Hipócrates, pero fue éste quien descubrió el trato lógico común a muchos métodos para resolver problemas y demostrar teoremas. 

La trisección del ángulo fue el tercer problema que los griegos trataron de resolver. Consiste en dividir un ángulo en tres partes iguales, solo con el uso de la regla y el compás. Al parecer este problema pudo surgir a partir de lograrse la bisección del ángulo. 

Los griegos quisieron resolverlo con regla y compás, teniendo en cuenta que la regla que ellos utilizaban no era graduada. Después, gracias a la ayuda de Gauss se logró dar fin a la duda que rodea por tanto tiempo a este problema irresuelto. Gauss afirmó que esto era imposible aunque no dejó pruebas de la veracidad de tal afirmación. Fue en 1837, gracias a una demostración rigurosa por parte de Pierre Laurent Wantzel que se logra la verificación de lo inicialmente enunciado por Gauss. 

Se dieron muchas formas mediante las cuales los grandes matemáticos intentaron dar solución a este problema. Aunque en este momento se pueden consultar muchas formas según las cuales se puede dar solución al problema enunciado, tal vez muchos puedan mostrar una aproximación muy útil en algunos casos, pero éstos no verifican la realidad buscada en la demostración. 

La trisección del ángulo, gran problema matemático, obtuvo grandes interpretaciones por parte de los matemáticos, quienes intentaron con sus distintos métodos y particularidades encontrar una respuesta a dicho problema. Una de las formas con las que se intentó dar respuesta proviene de Aristóteles, utilizando una cuerda y enrollándola sobre sí misma. Este método no fue aprobado por los griegos, ya que consideraban que estos problemas debían de solucionarse únicamente con la regla y el compás. 

Se denomina cuadratura de un círculo al problema matemático irresoluble de geometría, consistente en hallar, con regla y compás, un cuadrado que posea  un área que sea igual a la de un círculo dado, solo se puede calcular por el método de repeticiones sucesivas. 

La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Los matemáticos de la Grecia clásica pronto se interesaron por cuadrar más o menos irregulares limitadas por rectas (superficies poligonales). Una superficie es cuadrable cuando, a partir de ella, es posible obtener geométricamente un cuadrado que tenga la misma área que aquella. Desde un punto de vista práctico, cuadrar superficies irregulares permitía simplificar el cálculo de sus áreas ya que, mientras podía ser fatigoso calcular el área de una superficie no regular, el cálculo del área de su cuadrado equivalente sería trivial. 

Los griegos, influidos por la preeminencia de la geometría en sus matemáticas, buscaron procedimientos puramente geométricos para hallar la cuadratura de las distintas superficies. Esto implicaba limitarse al uso de dos elementos tecnológicos simples, como el compás y la regla. Ha de añadirse que, para los griegos, era impropio usar el compás como instrumento para transportar distancias. Mediante los métodos de cuadratura de un rectángulo y del triángulo, así como mediante la descomposición de los polígonos en triángulos, los griegos cuadraban cualquier superficie poligonal. Era posible cuadrar superficies de lados rectilíneos. 

La posibilidad de cuadrar superficies limitadas por curvas (superficies curvilíneas), y, en especial, la cuadratura del círculo, no habría parecido tan plausible a los griegos de no haber sido por el  hecho de que Hipócrates de Quíos demostró que ciertas figuras curvilíneas construidas a propósito por él, llamadas lúnulas, podían cuadrarse. La resolución de la cuadratura de las lúnulas de Hipócrates creó una falsa expectativa entre los matemáticos de la antigüedad, llevándoles a pensar que podían cuadrar el círculo. 

En el siglo XX Chebotariov y Dorodnov probaron que, en general, las lúnulas no pueden cuadrarse, excepto los tres tipos de lúnulas propuestos por Hipócrates y dos tipos más aportados por Leonard Euler en el siglo XVIII. De esta forma quedó en manifiesto que la cuadratura de la lúnula no era otra cosa que la solución excepcional de un problema irresoluble, cosa que confundió a los matemáticos durante siglos, creyendo que las lúnulas podían acercarlos a la cuadratura del círculo. 

El "culpable" de la imposibilidad de construir un cuadrado y un círculo con el mismo área es el número Pi (3,1416...). Pi es un número que los matemáticos llaman trascendente, esto es, que no se puede obtener como solución de una ecuación que contenga, además de la consabida incógnita, números positivos, negativos o fracciones (es decir, números racionales). Por este motivo el área de un cuadrado (lado por lado), nunca puede ser igual a la de un círculo (Pi por radio al cuadrado).