Introducción a las Matemáticas
Las matemáticas o simplemente matemática es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Estas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiadas para dicho fin. Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades, aunque solo una parte de las matemáticas actuales usan números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.
Mediante la abstracción y el uso de la lógica y el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.
Las explicaciones que se apoyaron en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos . Como consecuencia hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta nuestros días. Hoy en día las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente no están vinculadas con ella, como la música.
Es muy posible que el arte del cálculo haya sido desarrollado antes que la escritura, relacionado, fundamentalmente, con la contabilidad y la administración de bienes, el comercio, en la agrimensura y, posteriormente en la astronomía.
Actualmente todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynmann propuso la integridad de caminos como fundamento de la mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física, pero todavía no se ha logrado una definición plenamente satisfactoria en términos matemáticos. Similarmente, la teoría de las cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando las más modernas matemáticas.
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de las matemáticas. Hay una importante distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas. La mayoría de los matemáticos que se centran en la investigación se centran únicamente en una de esas dos áreas y, a veces, la elección comienza al inicio de su licenciatura. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras áreas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como la estadística, la investigación de operaciones o la informática.
La mayor parte de las notaciones matemáticas que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII. Antes de eso las matemáticas eran escritas con palabras, un proceso que evita el avance matemático. En el siglo XVIII Euler fue responsable de muchas de las anotaciones empleadas en la actualidad. Las notaciones modernas hacen que las matemáticas sean mucho más sencilla para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. Al igual que la notación musical, la notación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de otra manera.
El lenguaje matemático también puede ser difícil para los princiapantes. La jerga (o lenguaje) matemático incluye términos técnicos como homeomorfismo o integrabilidad. La razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguaje matemático requiere más precisión que el lenguaje cotidiano.
El rigor es una condición indispensable que debe tener una demostración matemática. Los matemáticos quieren que sus teoremas, a partir de los anxiomas, sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia.El nivel de rigor previsto para las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, mientras que en tiempos de Newton los métodos empleados eran menos rigurosos. Por otra parte, un axioma se interpreta tradicionalmente como una verdad evidente, aunque resulta ser una concepción problemática. En el ámbito formal, un axioma no es otra cosa que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco solo en el contexto de todas las fórmulas derivadas del sistema axiomático.
Carl Friedrich Gauss se refiere a las matemáticas como la reina de todas las ciencias. Tanto en latín como en alemán la palabra debe interpretarse como campo del conocimiento.Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas puras no pueden ser consideradas una ciencia.
La opinión de los matemáticos sobre este asunto son muy variables. Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ciencia es minimizar la importancia de su perfil estético, además suponen negar su historia dentro de las siete artes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y en la ingeniería, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemáticas. Otro asunto de debate es si la matemática fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de la incumbencia en la filosofía de las matemáticas.
Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en ciencia. El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla Fields que fue instaurada en 1936 y se concede cada cuatro años. A menudo se lo considera el equivalente al Premio Nobel para la ciencia. Otros premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978 que reconoce el logro en vida de los matemáticos, el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en el 2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de 23 problemas sin resolver, los Problemas de Hilbert fue recopilado en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos, y al menos nueve de esos problemas ya han sido resueltos.
Los que cuenta como conocimiento en la matemática no se determina mediante experimentación, sino mediante demostración. No se puede considerar a la matemática una rama de la física, (la ciencia más cercana de la matemática), puesto que la física es una ciencia empírica.
Es muy posible que el arte del cálculo haya sido desarrollado antes que la escritura, relacionado, fundamentalmente, con la contabilidad y la administración de bienes, el comercio, en la agrimensura y, posteriormente en la astronomía.
Actualmente todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynmann propuso la integridad de caminos como fundamento de la mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física, pero todavía no se ha logrado una definición plenamente satisfactoria en términos matemáticos. Similarmente, la teoría de las cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando las más modernas matemáticas.
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de las matemáticas. Hay una importante distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas. La mayoría de los matemáticos que se centran en la investigación se centran únicamente en una de esas dos áreas y, a veces, la elección comienza al inicio de su licenciatura. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras áreas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como la estadística, la investigación de operaciones o la informática.
La mayor parte de las notaciones matemáticas que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII. Antes de eso las matemáticas eran escritas con palabras, un proceso que evita el avance matemático. En el siglo XVIII Euler fue responsable de muchas de las anotaciones empleadas en la actualidad. Las notaciones modernas hacen que las matemáticas sean mucho más sencilla para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. Al igual que la notación musical, la notación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de otra manera.
El lenguaje matemático también puede ser difícil para los princiapantes. La jerga (o lenguaje) matemático incluye términos técnicos como homeomorfismo o integrabilidad. La razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguaje matemático requiere más precisión que el lenguaje cotidiano.
El rigor es una condición indispensable que debe tener una demostración matemática. Los matemáticos quieren que sus teoremas, a partir de los anxiomas, sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia.El nivel de rigor previsto para las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, mientras que en tiempos de Newton los métodos empleados eran menos rigurosos. Por otra parte, un axioma se interpreta tradicionalmente como una verdad evidente, aunque resulta ser una concepción problemática. En el ámbito formal, un axioma no es otra cosa que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco solo en el contexto de todas las fórmulas derivadas del sistema axiomático.
Carl Friedrich Gauss se refiere a las matemáticas como la reina de todas las ciencias. Tanto en latín como en alemán la palabra debe interpretarse como campo del conocimiento.Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas puras no pueden ser consideradas una ciencia.
La opinión de los matemáticos sobre este asunto son muy variables. Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ciencia es minimizar la importancia de su perfil estético, además suponen negar su historia dentro de las siete artes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y en la ingeniería, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemáticas. Otro asunto de debate es si la matemática fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de la incumbencia en la filosofía de las matemáticas.
Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en ciencia. El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla Fields que fue instaurada en 1936 y se concede cada cuatro años. A menudo se lo considera el equivalente al Premio Nobel para la ciencia. Otros premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978 que reconoce el logro en vida de los matemáticos, el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en el 2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de 23 problemas sin resolver, los Problemas de Hilbert fue recopilado en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos, y al menos nueve de esos problemas ya han sido resueltos.
Los que cuenta como conocimiento en la matemática no se determina mediante experimentación, sino mediante demostración. No se puede considerar a la matemática una rama de la física, (la ciencia más cercana de la matemática), puesto que la física es una ciencia empírica.
- La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya está hecho. Aun existen gran cantidad de problemas esperando solución y una infinidad esperando formulación.
- Matemáticas no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los contables, los avances en matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.
- Matemáticas no significa numerología. La numerología es una pseudociencia que utiliza la aritmética modular para pasar de nombres y fechas a números a los que se le atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intuición.
Algunas de las áreas de las matemáticas son las siguientes:
- Aritmética: estudio de los números, sus propiedades y las operaciones que pueden hacerse con ellas.
- Álgebra: estudio de las estructuras, las relaciones y las cantidades.
- Conjuntos: es uno de los actuales fundamentos de la matemática, junto con la teoría de categorías.
- Geometría: estudio de los segmentos, las medidas y las relaciones ente éstas. Aquí se encuentra la trigonometría, que estudia las medidas, raciones y relaciones de los triángulos.
- Cálculo infinitesimal: estudia la variación de infinitésimos mediante derivadas e integrales
- Estadística: Aaaliza e interpreta datos recolectados mediante entrevistas o experimentos de laboratorio.
Las llamadas matemáticas superiores se dividen en:
- Topología: estudia las propiedades de cuerpos geométricos que permanecen inalterados mediante transformaciones continuas.
- Análisis matemático: estudia los conceptos del cálculo infinitesimal en espacios más generales como los de Hilbert o de Banach.
- Geometría diferencial: aplicaciones d cálculo infinitesimal a la geometría
- Geometrías no euclidianas: geometría donde el axioma de las paralelas de Euclides no es válido.
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