El eterno e irracional núnero Pi
El eterno e irracional número Pi
Pi es la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro. En distintas culturas (china, egipcia, europea, india, etc), se trató de obtener mejores aproximaciones de Pi por ser de aplicación en campos tan distintos como la astronomía o la construcción.
Cualquier esfuerzo práctico por dividir el diámetro de un círculo en su propia circunferencia solo puede resultar en fracaso. Tal procedimiento solo puede ser teórico en su naturaleza e intentar obtener su valor racional solo conllevará a frustración. La frustración que se retrata a lo largo de la historia en el esfuerzo de la humanidad por medir lo inconmensurable. Intentar inscribir una línea recta (el diámetro de un círculo) en otra línea curva (el perímetro del mismo) es intentar una alteración a la naturaleza, una alteración imposible que siquiera los ordenadores modernos están en condiciones de realizar.
Ya en la antigüedad los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre su perímetro y su radio, pero....,¿puede ese vínculo ser considerado como un número racional?, es decir: ¿puede conocerse con exactitud esta relación, o debemos limitarnos a dar aproximaciones?Solo desde el siglo XVII la relación se convirtió en un número, y fue identificado con el nombre "Pi" (de peripheria, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo), pero largo fue el camino hasta aceptar que Pi era un irracional, como infinita es la posibilidad de encontrarle un nuevo decimal.
A lo largo de la historia, la expresión de Pi ha asumido muchas variaciones. Uno de los más antiguos textos matemáticos, el papiro de Rhind (1700 años antes de nuestra era), nos muestra al escriba Ahmnés cortejando la evolución del área de un círculo inscrito en un cuadrado.
La Biblia le asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8, Siddhantes 3,14,16, Brahmagupta 3,162277 y en China 3,1724. Sin embargo, como era de esperarse, fue en Grecia donde la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más llamativos enigmas a resolver. Un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribe en el círculo un cuadrado, luego un octógono e imagina doblar el número de lados hasta el momento en que el polígono obtenido coincida practicamente con el círculo. Brisón, por la misma época, hizo intervenir los polígonos circunscriptos.
Después de los trabajos de Hipócrates y de Euxodo, Euclides precisa, en sus Elementos, los pasos al límite necesarios y deaarrolla el método de exhaución, consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lado de los polígonos regulares inscritos y circunscritos y en mostrar la convergencia del procedimiento.
Arquímedes reune y desarrolla estos resulados. Muestra que el área de un círculo es el semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relación de la circunferencia al diámetro está comprendida entre 223/71 =3,14084 y 22/7=3,14285. Obtiene luego para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, inscritos y circunscritos de n y 2n lados, relaciones de recurrencia en forma notable, que permite calcular pi con bastante aproximación, método que recibirá el nombre de Algoritmo de Arquímedes.
Con el Renacimiento, los trabajos de ciclometría se multiplican. Pubach construye una tabla de senos de 10' en 10', y adopta para Pi el valor 377/120= 3,14666....Los siglos XV y XVI se destacan por el desarrollo de la trigonometría bajo el impulso de Copérnico y Kepler. Rhaeticus construye una tabla de senos en la que se incluye a Pi con ocho decimales exactos. Adrien Romain (1561 - 1615) obtiene 15 decimales y Ludolph de Colonia (1539 - 1610) llega hasta 32.
El cálculo infinitesimal dio fórmulas notables que, al aportar métodos de cálculo nuevos y mucho más potentes, separó de cierto modo a Pi de sus orígenes geomñetricos y aclaró el papel fundamental que juega en todo el análisis matemático. El matemático francés Viete obtuvo, a fines del siglo XVI, la primera fórmula de Pi por medio de un producto infinito convergente que no hace figurar más que a los números 1 y 2.
Como caso particular cabe mencionar a Euler, a quien le debemos la costumbre de designar por Pi a la relación circunferencia: diámetro y quien, en 1775 calculó su valor, con veinte decimales en una hora y media. Sin embargo, su mayor descubrimiento es el de un cierto parentesco entre Pi y otros números no menos importantes en la matemática, como lo son los números e, i, como así también los lazos que existen entre las funciones circulares seno y coseno y la función exponencial ex: esta es periódica y su periodo imaginario es 2 i Pi
El más constante entre todos aquellos que se abocaron al cómputo de Pi fue el matemático William Shanks, quien luego de un arduo trabajo que le demandó nada menos que veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desafortunadamente Shanks cometió un error de 528º decimal, y a partir de ese todos los restantes están mal. En 1949 John Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC y, luego de setenta horas de trabajo, obtuvo 2037 cifras decimales.Tiempo después otra computadora consiguió 3000 decimales en solo 13 minutos. Hacia 1959 una computadora británica y otra gala lograron las primeras 10.000 cifras. En 1960, David Bailey extrajo 29.360.000 cifras en un Cray-2 de la NASA, utilizando el algoritmo de Ramanujan de convergencia cuántica.
Lo cierto es que solo cuatro decimales de Pi con suficiente precisión bastan para las necesidades prácticas. Con 16 decimales se obtiene, con el espesor aproximado de un cabello, la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia media de la tierra al sol. Si remplazamos el sol por la nebulosa más lejana y el cabello por el corpúsculo más pequeño conocido por los físicos no harían falta más que 40 decimales. Entonces ¿Que necesidad existe para buscar tantas cifras? Quizás ninguna necesidad práctica, pero el hombre no se resigna aun a aceptar cosas que no puede llegar a comprender, como, por ejemplo, el infinito.
Arquímedes reune y desarrolla estos resulados. Muestra que el área de un círculo es el semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relación de la circunferencia al diámetro está comprendida entre 223/71 =3,14084 y 22/7=3,14285. Obtiene luego para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, inscritos y circunscritos de n y 2n lados, relaciones de recurrencia en forma notable, que permite calcular pi con bastante aproximación, método que recibirá el nombre de Algoritmo de Arquímedes.
Con el Renacimiento, los trabajos de ciclometría se multiplican. Pubach construye una tabla de senos de 10' en 10', y adopta para Pi el valor 377/120= 3,14666....Los siglos XV y XVI se destacan por el desarrollo de la trigonometría bajo el impulso de Copérnico y Kepler. Rhaeticus construye una tabla de senos en la que se incluye a Pi con ocho decimales exactos. Adrien Romain (1561 - 1615) obtiene 15 decimales y Ludolph de Colonia (1539 - 1610) llega hasta 32.
El cálculo infinitesimal dio fórmulas notables que, al aportar métodos de cálculo nuevos y mucho más potentes, separó de cierto modo a Pi de sus orígenes geomñetricos y aclaró el papel fundamental que juega en todo el análisis matemático. El matemático francés Viete obtuvo, a fines del siglo XVI, la primera fórmula de Pi por medio de un producto infinito convergente que no hace figurar más que a los números 1 y 2.
Como caso particular cabe mencionar a Euler, a quien le debemos la costumbre de designar por Pi a la relación circunferencia: diámetro y quien, en 1775 calculó su valor, con veinte decimales en una hora y media. Sin embargo, su mayor descubrimiento es el de un cierto parentesco entre Pi y otros números no menos importantes en la matemática, como lo son los números e, i, como así también los lazos que existen entre las funciones circulares seno y coseno y la función exponencial ex: esta es periódica y su periodo imaginario es 2 i Pi
El más constante entre todos aquellos que se abocaron al cómputo de Pi fue el matemático William Shanks, quien luego de un arduo trabajo que le demandó nada menos que veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desafortunadamente Shanks cometió un error de 528º decimal, y a partir de ese todos los restantes están mal. En 1949 John Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC y, luego de setenta horas de trabajo, obtuvo 2037 cifras decimales.Tiempo después otra computadora consiguió 3000 decimales en solo 13 minutos. Hacia 1959 una computadora británica y otra gala lograron las primeras 10.000 cifras. En 1960, David Bailey extrajo 29.360.000 cifras en un Cray-2 de la NASA, utilizando el algoritmo de Ramanujan de convergencia cuántica.
Lo cierto es que solo cuatro decimales de Pi con suficiente precisión bastan para las necesidades prácticas. Con 16 decimales se obtiene, con el espesor aproximado de un cabello, la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia media de la tierra al sol. Si remplazamos el sol por la nebulosa más lejana y el cabello por el corpúsculo más pequeño conocido por los físicos no harían falta más que 40 decimales. Entonces ¿Que necesidad existe para buscar tantas cifras? Quizás ninguna necesidad práctica, pero el hombre no se resigna aun a aceptar cosas que no puede llegar a comprender, como, por ejemplo, el infinito.
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